Оценка устойчивости САР

Оценка устойчивости системы производится по критерию Ляпунова. Критерий Ляпунова является необходимым условием устойчивости. Характеристическое уравнение системы с помощью теоремы Виета может быть записано в виде:

.

где p1, p2, ., pn - корни этого уравнения. Если система устойчива, значит все корни левые, то есть вещественные части всех корней отрицательны, что можно записать как ai = -|ai|< 0.

Для доказательства устойчивости системы по критерию Ляпунова необходимо найти корни характеристического полинома. Найдем корни характеристического полинома с помощью моделирующей программы MatLAB.

Характеристический полином:

Корни полинома:

p1= -12.93,

p2= -49.36771290548703 +64.31218663931692i

p3= -49.36771290548703 -64.31218663931692i.

Однако, исходя из найденных корней, нельзя считать систему устойчивой, так как критерий Ляпунова является необходимым, но не достаточным. Для определения устойчивости системы воспользуемся критериями устойчивости Гурвица, Михайлова.

Критерий устойчивости Гурвица формулируется следующим образом: система автоматического управления n-го порядка будет устойчива, если все коэффициенты характеристического уравнения больше 0, а также главный определитель Гурвица больше 0 и дополнительные определители Гурвица больше 0 [5].

Найдём главный и дополнительные определители. Для этого воспользуемся моделирующей программой Mathcad:

.

Главный определитель:

Дополнительный определитель:

Так как главный и дополнительные определители Гурвица имеют положительный знак, то система устойчива по критерию Гурвица. Проверим устойчивость системы по критерию Михайлова. Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы:

.

Подставим в этот полином чисто мнимое значение p=j×ω. При этом получим функцию Михайлова, как характеристический полином, состоящий из вещественной и мнимой части:

;

;

.

Задаваясь различными значениями ω в пределах от нуля до бесконечности, построим годограф Михайлова (рисунок 7а).

а) б)

Рисунок 7

а) Годограф Михайлова в моделирующей программе Mathcad

б) Годограф Михайлова увеличенный вблизи начала координат

Так как годограф системы, имеющей третий порядок, при изменении ω от 0 до ∞, начинается на вещественной положительной полуоси и при увеличении ω в положительном направлении последовательно проходит против часовой стрелки три квадранта, и при этом не обращается в 0, то можно сделать вывод, что замкнутая система устойчива.

Другие стьтьи в тему

Проектирование цифровой радиорелейной линии г. Братск - г. Иркутск
Целью данной курсовой работы является проектирование ЦРРЛ г. Братск ‒ г. Иркутск. Т.е. создание магистральной высокоскоростной цифровой связи в индустриально развитой области России. Радиорелейная связь - радиосвязь по линии, образованной цепочкой приёмо-передающих (ретрансляц ...

Разработка устройства кодирования двухкаскадным способом
Эффективная организация обмена информацией приобретает все большее значение, прежде всего как условие успешной практической деятельности людей. Объем информации, необходимой для нормального функционирования современного общества, растет в соответствии с развитием производстве ...