Расчет параметров цифрового фильтра

Обратное z-преобразование

Обратное z-преобразование (z-1) позволяет восстанавливать последовательность дискретного времени х(п) по ее z-образу. z-1 особенно полезно в операциях ЦОС, например, при поиске импульсной характеристики цифровых фильтров. В символической форме обратное z-преобразование можно определить как:

(n) = Z-1[X(z)],

где X(z) - это z-образ последовательности x(n), а Z-1 - символ, обозначающий обратное z-преобразование.

Предположив, что последовательность причинна, z-образ X(z) можно разложить в степенной ряд как:

Видно, что значения последовательности х(n) - это коэффициенты z-n (n = 0,1, .), и поэтому их можно найти непосредственно. На практике X(z) часто выражается через отношение двух многочленов от z-1 или, что эквивалентно, от z:

В этом виде обратное z-преобразование x(n) можно найти с помощью одного из многих методов, например:

а) метода разложения в степенной ряд;

б) метода разложения на элементарные дроби;

У каждого метода есть свои преимущества и недостатки. С точки зрения математической строгости метод вычетов, возможно, самый элегантный. Однако метод степенных рядов лучше всего подходит для компьютерных расчетов.

Метод степенных рядов

Если дано z-преобразование X(z) причинной последовательности, то его можно разложить в бесконечный ряд относительно z-1 или z путем деления в столбик (иногда его называют синтетическим делением):

=

В этом методе числитель и знаменатель функции X(z) сперва выражаются либо через уменьшающийся показатель степени z, либо через увеличивающейся показатель степени z-1, а затем путем деления в столбик находится частное.

Метод разложения на элементарные дроби

В этом методе z-преобразование вначале раскладывается на сумму простых дробей. Затем по таблицам, подобным (смотреть в приложении) находится обратное z-преобразование каждой элементарной дроби. Эти образы суммируются, и получается общее обратное z-преобразование. На практике во многих случаях z-преобразование задается как отношение многочленов по z или z-1 и имеет уже знакомый вид

=

(1)

Если полюсы функции X(z) - первого порядка и N - М, то X(z) можно разложить как:

(2)

где pk - полюсы функции X(z), Ck - коэффициенты элементарных дробей, a

= bN/aN.

Сk также называют вычетами функции X(z).

Если в уравнении (1) порядок числителя меньше, чем порядок знаменателя, т.е. N < М, то В0 будет равно нулю. Если N > М, то X(z) вначале нужно сократить, чтобы получить N < М, путем деления в столбик многочленов числителя и знаменателя, записанных через уменьшающийся показатель степени z-1. Остаток можно выразить так, как это сделано в уравнении (2).

Другие стьтьи в тему

Расчет цифровой системы импульсно–фазового управления
Электрическая энергия вырабатывается на электрических станциях и передаётся потребителю главным образом в виде переменного трёхфазного тока промышленной частоты 50 Гц, однако как в промышленности, так и на транспорте имеются установки, для питания которых переменный ток с частотой 50 ...

Разработка структурной схемы пункта управления частотной системы ТУ-ТС
Телемеханика - как отдельная область науки и техники выделилась сравнительно не давно. Но не смотря на свою относительную «молодость» сразу же начала развиваться стремительными темпами, охватывая все новые и новые отрасли промышленности и сельского хозяйства. Сегодня, мы уже даже не з ...