Расчет параметров цифрового фильтра

Коэффициент Ск, связанный с полюсом pк, можно найти, умножив правую и левую части уравнения (2) на (z - pk)/z, а затем сделав замену z = рк:

Если функция X(z) имеет один или несколько полюсов больше первого порядка (т.е. совпадающих полюсов), то, чтобы учесть это, в уравнение (2) нужно добавить дополнительные члены. Например, если функция X(z) имеет полюс m-го порядка в точке z=рк, то в разложение на элементарные дроби должны входить члены вида:

Коэффициенты Di можно найти из зависимости:

Так как наше z-преобразование представляет собой обычный фильтр дискретного времени N-го порядка (где N=M):

,

где

(z)=b0zN+ b1zN-1+ b2zN-2+…+ bN,

D(z)=a0zN+ a1zN-1+ a2zN-2+…+ aN,

ak и bk - коэффициенты фильтра.

Если функция H(z) имеет полюсы в точках z=p1, p2,… pN и нули в точках z=z1, z2,… zN, то H(z) можно разложить на множители и представить в виде:

,

где zi- i-й нуль, pi- i-й полюс, а K- коэффициент усиления.

Полюсы такого z-преобразования, как H(z), - это значения z, в которых функция H(z) равна бесконечности. Значения г, в которых H(z) равна нулю, называют нулями. Полюсы и нули функции H(Z) могут быть действительными или комплексными. Если они комплексные, они идут комплексно-сопряженными парами, чтобы коэффициенты ak и bk были действительными. Если известны положения полюсов и нулей функции H(z), то и саму функцию H(z) можно легко восстановить с точностью до константы.

Оценка частотной характеристики

Существует множество случаев, когда нужно оценить частотную характеристику системы дискретного времени. Например, при проектировании дискретных фильтров часто приходится проверять спектр фильтра, чтобы убедиться в том, что он удовлетворяет искомым спецификациям. Отметим, что частотную характеристику системы можно запросто найти из ее z-преобразования.

Например, если взять z = еiɷT, т.е. найти z-преобразование по единичной окружности, получим Фурье-образ системы:

Н(eiɷT) называют частотной характеристикой системы. Мы воспользовались символом Т, чтобы подчеркнуть зависимость частотной характеристики системы дискретного времени от частоты дискретизации. В общем случае Н(еiɷT) - комплексная величина. Ее модуль дает амплитудную, а фаза - фазовую характеристику системы.

Частотную характеристику по z-преобразованию можно найти несколькими методами.

Если необходимо знать полную частотную характеристику, как правило, в передаточную функцию непосредственно подставляют значение z=eiɷT и вычисляют получающееся в результате этого выражение:

=

.

Разностное уравнение

Разностное уравнение описывает реальные действия, которые система дискретного времени должна произвести над входными данными во временной области, чтобы получить необходимый выход. Разностное уравнение для большинства важных практических случаев можно записать в таком виде:

Другие стьтьи в тему

Проектирование цифровой городской телефонной сети ГТС
Развитие современных телекоммуникационных систем, цифровых электронных станций и аппаратуры уплотнения затронуло один из самых консервативных элементов сети электросвязи - абонентскую линию. В концепции структуры сети электросвязи появилось новое понятие - «сеть абонентского доступа» ...

Разработка схем приемного и передающего устройств
В цифровых системах сигналы передаются в виде различных комбинаций импульсов постоянной амплитуды, отображающих числовое значение сигнала в каждый данный момент времени (кодовыми группами). Чтобы каждое значение сигнала можно было преобразовать в соответствующую кодовую группу, к ...